期望dp，但是是连续概率

当巧克力棒的初始长度不大于 $d$ 时，不需要进行任何操作：$$E(x) = 0 \quad (x \le d)$$

当初始长度 $L > d$ 时，我们在 $[0, L]$ 之间随机等概率取一个点掰断，留下的长度为 $x$（此时 $x$ 服从均匀分布）。因此，操作一次后，剩下的期望次数为连续区间上的积分求平均：

$$E(L) = 1 + \frac{1}{L} \int_{0}^{L} E(x) dx$$

因为当 $x \le d$ 时，$E(x) = 0$，所以我们可以把积分下界改为 $d$：

$$E(L) = 1 + \frac{1}{L} \int_{d}^{L} E(x) dx$$

将上述方程两边同乘 $L$：

$$L \cdot E(L) = L + \int_{d}^{L} E(x) dx$$

对等式两边关于 $L$ 求导（右边用到变上限积分求导法则）：

$$E(L) + L \cdot E'(L) = 1 + E(L)$$

化简得到：

$$L \cdot E'(L) = 1 \implies E'(L) = \frac{1}{L}$$

最终结果

$$E(L) = \ln(L) + 1 - \ln(d) = 1 + \ln\left(\frac{L}{d}\right)$$